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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
i) $f(x)=\frac{x^{2}+100}{x^{2}-25}$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de $f(x)$

En este caso, el denominador $x^2 - 25$ es cero cuando $x = 5$ o $x = -5$. Por lo tanto, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$ excluyendo $x = 5$ y $x = -5$.
2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Calculamos los límites cuando $x$ tiende a $5$ y $-5$, nuestros candidatos a asíntota vertical:

$ \lim_{x \to 5^-} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = -\infty $ $ \lim_{x \to 5^+} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = +\infty $
$ \lim_{x \to -5^-} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = +\infty $ $ \lim_{x \to -5^+} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = -\infty $

Por lo tanto, hay asíntotas verticales en $x = 5$ y $x = -5$.
  - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + \frac{100}{x^2})}{x^2(1 - \frac{25}{x^2})} = 1 $ $ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{100}{x^2})}{x^2(1 - \frac{25}{x^2})} = 1 $ 
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y=1$ tanto para $x$ tendiendo a $+\infty$ como a $-\infty$. 
3) Calculamos $f'(x)$:

$ f'(x) = \frac{(x^2 - 25)(2x) - (x^2 + 100)(2x)}{(x^2 - 25)^2} $ 

Reacomodamos un poco:

$ f'(x) = \frac{-250x}{(x^2 - 25)^2} $  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ \frac{-250x}{(x^2 - 25)^2} = 0$

$ -250x = 0 $

$x = 0$

La única solución es $x = 0$, por lo que ese es nuestro punto crítico.

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $x < -5$
b) $-5 < x < 0$
c) $0 < x < 5$
d) $x > 5$  6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < -5$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $-5 < x < 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. c) Para $0 < x < 5$ 
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.

d) Para $ x > 5$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
  Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2019:40:20_4321450.png
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Maggui
24 de mayo 22:48
una pregunta, por qué cuando x tiende a -5 por derecha da negativo y cuando lo hace por izquierda da positivo?? el grafico me habia quedado todo mal porque me confundí en esos resultados😭
0 Responder
Flor
PROFE
25 de mayo 14:06
@Maggui Hola Maggui! Fijate que un $-5$ por derecha sería algo así como $-4.9999$ y un $-5$ por izquierda sería como un $-5.0001...$ 

Vos esto no lo pongas explícitamente en el parcial, sólo en tu hoja borrador, y ahi reemplaza despacito estos números en la expresión y avisame si ahi te da! Parece una boludez pero en estos casos es re común confundirse y mejor reemplazar y estar seguros :D
0 Responder
Maggui
25 de mayo 18:29
muchas gracias! 
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 14:30
Para x mayores a 5, no es creciente??? el numerador siempre va a ser negativo en del 5 para adelante, porque es un numero negativo por uno positivo, abajo si queda positivo siempre, pero arriba no.
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:48
@Benjamin Ah no, claramente estaba re quemada cuando hice este ejercicio! jajaja ahí lo edite, efectivamente $f$ es siempre decreciente para $x$ mayores a $5$ (hasta se ve en el gráfico jajaja)
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:15
jajaja okok, gracias
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 14:25
una pregunta, no quedaria -250x/(x^2-25)^2 ? porque en la distributiva de antes quedaria los 2x^3 que se me van, y despues queda (2x*-25)=-50x 
-50x - (2x*100)= 200x
-50x-200x=-250x
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:46
@Benjamin Siiii, eso fue error de cuenta de mío! 🫣 Ahí lo acabo de modificar, bien ahí que te diste cuenta, graciassss!

Pero igual fijate que al estar igualada a cero esa derivada, no terminó cambiando el resultado del despeje y el punto crítico sigue siendo $x=0$... No entendí bien qué es lo que vos querías hacer después! Chequeá si ahora que lo edité coincide con lo que tenés en tu hoja y si se entiende
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:14
sisi coincide jaja, cuando lo estaba haciendo me quedo el -250x
0 Responder